Mathematics

สวัสดีค่ะนักเรียนทุกคน  ยินดีต้อนรับเข้าสู่ SOCIAL  MATH

 

ความหมายของลำดับ

ใบความรู้ที่ 1 ความหมายของลำดับ

1.ให้นักเรียนพิจารณาความสัมพันธ์ของแบบรูปดังต่อไปนี้

 

                (1)                          (2)                          (3)                          (4)                          (5)

                                                                                                                                               

 

ในแบบรูปข้างต้นจะเห็นว่าลำดับของรูปและจำนวนรูปสี่เหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันดังนี้

รูปที่

1

2

3

4

5

จำนวนรูปสี่เหลี่ยม

1

2

4

8

16

จากตารางจะเห็นว่าความสัมพันธ์ของลำดับของรูป และจำนวนรูปสี่เหลี่ยมในแต่ละรูปเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5}     และมีเรนจ์เป็น {1, 2, 4, 8, 16}

 

2.พิจารณาแบบรูปของจำนวน  3, 5, 7, 9, …, 2n + 1

                จากแบบรูปข้างต้น  เขียนความสัมพันธ์ระหว่างลำดับที่กับจำนวนแต่ละจำนวนในแบบรูปได้ดังนี้

ลำดับที่ 1 2 3 4 5
จำนวน 3 5 7 9 11

 

จากตารางจะเห็นว่าความสัมพันธ์ข้างต้นเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5, …}    

และมีเรนจ์เป็น {3, 5, 7, 9, 11, …}

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก  เช่นเดียวกับฟังก์ชันในตัวอย่างที่กล่าวมาเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่เรียกว่า ลำดับ

 

                ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า ลำดับ

                ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, …, n} จะเรียกลำดับดังกล่าวว่าลำดับจำกัด  และ      ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, …} จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า ลำดับอนันต์ 

 

 

 

ในการเขียนลำดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไปกล่าวคือ ถ้า a เป็นลำดับจำกัดจะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an  ในกรณีที่ a เป็นลำดับอนันต์จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an, …

                เรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของลำดับ

                        a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของลำดับ

                       a3  ว่าพจน์ที่ 3 ของลำดับ

                       anว่าพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไป(general term) ของลำดับ

                จากตัวอย่างที่กล่าวมา

1)                  1, 3, 6, 10, 15  เป็นลำดับจำกัดที่มี a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, a4 = 10, a5 = 15

และ 

                2)            1, 3, 5, 7, 9, …   เป็นลำดับอนันต์ที่มี a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 9

                                และ

                การเขียนลำดับนอกจากเขียนโดยการแจกแจงพจน์แล้ว  อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ทั่วไป

พร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมนเช่น

                ลำดับ  1, 3, 6, 10, 15   อาจเขียนแทนด้วย

   เมื่อ  n {1, 2, 3, 4, 5}

ลำดับ 1, 3, 5, 7, 9, …   อาจเขียนแทนด้วย

   เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

หมายเหตุ             ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ทั่วไปถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมนให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์

ตัวอย่างของลำดับ

(1)                7, 14, 21, 28, 35, 42

(2)                4, 9, 16, 25, 36, …, (n + 1)2, …

(3)                an = 2n  + 1    , n {1, 2, 3, …, 20}

(4)                an =

(5)                an = 2n2 – 1

 

ใบงานที่ 1

1.ให้นักเรียนฝึกพิจารณาฟังก์ชันเหล่านี้ว่า เป็นลำดับจำกัด ,เป็นลำดับอนันต์ , ไม่เป็นลำดับ โดยการเขียนเครื่องหมาย   /   ในแต่ละข้อ   ถ้าเป็นลำดับจงเขียนให้อยู่ในรูปที่นิยม

 

ฟังก์ชัน

เป็นลำดับจำกัด เป็นลำดับอนันต์ ไม่เป็นลำดับ นิยมเขียนลำดับ

โดยเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

R1 = { (1,8) , ( 2 ,8) , ( 3 ,8) , (4,8) , (5,8) , (6,8)}        
R2  = { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , … }        
R3 ={ (10,1) ,(11,2) , (12,3 ) , (13,4) , (14,5) , (15,6) }        
R4 = { (1,5) , (2,10) , (3,20) , (4,40) , (5,80)}        
R5 = { (1,10) , (3,30) , (5,50) , (7,70) , (9,90)}        
R6 = { (1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,5) , (5,6) ,(6,7), …}        
R7={ (1,1) , (2,4) , (3,9) , (4,16) , (5,25), …}        
R8 ={ (1,3) , (2,6) , (3,12) , (4,24) , (5,48)}        
R9 = {(1,100) , (2,98) , (3,96) , (4,94) , (5 ,92 ) }        
R10 = { (1,100) , (2,50) , (3,25) , (4,12.5) , …}        

 

2.กำหนดลำดับดังต่อไปนี้จงหาพจน์ใดๆ ของลำดับ

                1)  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

 

2)      100, 95, 90, 85, 80, 75, 70, 65, 60,

 

 

3)      3, 6, 12, 24, 48, 96, …

 

 

4)      400, 200, 100, 50, 25, 12.5, 6.25, …

 

 

สรุปเนื้อหาสาระเรื่องลำดับ

 

1.ลำดับ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เริ่มจาก 1 และเพิ่มขึ้นทีละ 1

เช่น    r1  =  {(1,3) , (2,6) , (3,9) , (4,12)}

          r2  =  {(1,20) , (2,40) , (3,80) , (4,160) , …}

           r3  =  {(1,2) , (2,4) , (3,8) , (4,16) , …, (n,2n) , …}

 

2.วิธีเขียนลำดับนิยมเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

เช่น                  3, 6, 9, 12

                        20, 40, 80, 160, …

                        2, 4, 8, 16, …, 2n, …

 

3.ชนิดของลำดับ มี 2 ชนิดคือ

         3.1 ลำดับจำกัดเช่น 3, 6, 9, 12

         3.2 ลำดับอนันต์เช่น 20, 40, 80, 160, …

 

4.สัญลักษณ์ที่ใช้แทนลำดับ  ใช้ an   เมื่อ  n เป็นลำดับที่ของพจน์

เช่น  a3 หมายถึงลำดับพจน์ที่ 3

         a8  หมายถึงลำดับพจน์ที่ 8

 

5.การเขียนลำดับเขียนได้ 2 วิธี

           5.1 เขียนแบบแจกแจงพจน์  เช่น  3, 6, 9, 12   หรือ  20, 40, 80, 160, …

           5.2 เขียนในรูปพจน์ทั่วไป  เช่น

                 an = 2n+3    , n ={1, 2, 3, 4, 5}

                an = 3n-1     

 

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.